a, Thay m = -1 vào phương trình trên ta được 

\(x^2+4x-5=0\)

Ta có : \(\Delta=16+20=36\)

\(x_1=\frac{-4-6}{2}=-5;x_2=\frac{-4+6}{2}=1\)

Vậy với m = -1 thì x = -5 ; x = 1 

b, Vì x = 2 là nghiệm của phương trình trên nên thay x = 2 vào phương trình trên ta được : 

\(4+8+3m-2=0\Leftrightarrow3m=-10\Leftrightarrow m=-\frac{10}{3}\)

Vậy với x = 2 thì m = -10/3 

c, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)hay 

\(16-4\left(3m-2\right)=16-12m+8=4m+8>0\)

\(\Leftrightarrow8>-4m\Leftrightarrow m>-2\)

Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=3m-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=-4\Leftrightarrow x_1=-4-x_2\)(1) 

suy ra : \(-4-x_2+2x_2=1\Leftrightarrow-4+x_2=1\Leftrightarrow x_2=5\)

Thay vào (1) ta được : \(x_1=-4-5=-9\)

Mà \(x_1x_2=3m-2\Rightarrow3m-2=-45\Leftrightarrow3m=-43\Leftrightarrow m=-\frac{43}{3}\)

Đk để pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 : a>0 và denta>0

suy ra denta= (2m+1)^2-4.(m^2+1)>0

suy ra : m>3/4

Ta có P=x1x2/x1+x2=(m^2+1)/(2m+1)

 Ta có: P∈Z

⇒4P∈Z

⇒(4m^2+4)/2m+1=(2m-1)+5/2m+1∈Z

⇒2m+1=Ư(5)={−5;−1;1;5}

⇒m={−3;−1;0;2} 

Kết hợp đk m>3/4 ta được m=2

a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> Δ ≥ 0 <=> (-2)² - 4.1/2.(m-1) ≥ 0 <=> 4 - 2m + 2 ≥ 0 <=> m ≤ 3

Theo hệ thức Viète : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-2\end{cases}}\)

Ta có : \(x_1x_2\left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}\right)+48=0\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)+96=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+96=0\Leftrightarrow\left(2m-2\right)\left(18-2m\right)+96=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-10-15=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=100+60=160\)

\(\Delta>0\), áp dụng công thức nghiệm thu được \(m_1=5+2\sqrt{10}\left(ktm\right);m_2=5-2\sqrt{10}\left(tm\right)\)

Vậy với \(m=5-2\sqrt{10}\)thì thỏa mãn đề bài

\(a=\frac{1}{2};b=-2;c=m-1\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4.\frac{1}{2}.\left(m-1\right)\)

\(\Delta=4-2\left(m-1\right)\)

\(\Delta=4-2m+2\)

\(\Delta=6-2m\)

để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(6-2m>0\)

\(< =>m< 3\)

áp dụng vi - ét

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\\x_1x_2=\frac{m-1}{\frac{1}{2}}=2m-2\end{cases}}\)

\(x_1x_2\left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}\right)+48=0\)

\(\left(2m-2\right)\left(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{2}\right)+48=0\)

\(\left(2m-2\right)\left(\frac{4^2-4m-4}{2}\right)+48=0\)

\(\left(2m-2\right)\left(6-2m\right)+48=0\)

\(12m-12-4m^2+4m+48=0\)

\(-4m^2+16m+36=0\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16^2-4.\left(-4\right).36}=8\sqrt{13}\)

\(m_1=\frac{8\sqrt{13}-16}{-8}=2-\sqrt{13}\left(TM\right)\)

\(m_2=\frac{-8\sqrt{13}-16}{-8}=2+\sqrt{13}\left(KTM\right)\)

vậy \(m=2-\sqrt{13}\)thì thỏa mãn yêu cầu \(x_1x_2\left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}\right)+48=0\)

Ta có : \(\Delta'=1-\frac{1}{2}.\left(m-1\right)=1-\frac{m-1}{2}=\frac{3-m}{2}\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi \(\frac{3-m}{2}>0\Rightarrow3-m>0\Leftrightarrow m< 3\)

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4\\x_1x_2=\frac{m-1}{\frac{1}{2}}=2m-2\end{cases}}\)

Ta có : \(x_1x_2\left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}\right)+48=0\Leftrightarrow x_1x_2\left(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{2}\right)+48=0\)

Thay vào ta được : \(\left(m-1\right)\left(\frac{16-2\left(2m-2\right)}{2}\right)+48=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(\frac{20-4m}{2}\right)+48=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(10-4m\right)+48=0\)

\(\Leftrightarrow10m-4m^2-10+4m+48=0\Leftrightarrow-4m^2+14m+38=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=\frac{7+\sqrt{201}}{4}\left(ktm\right);x_2=\frac{7-\sqrt{201}}{4}\left(tm\right)\)

Phương trình có : \(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2+8>0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Vi-ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài : \(\left(1-\dfrac{2}{x_1+1}\right)^2+\left(1-\dfrac{2}{x_2+1}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1-1\right)^2}{\left(x_1+1\right)^2}+\dfrac{\left(x_2-1\right)^2}{\left(x_2+1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2}{\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2-2\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2+1\right)^2\left[\left(x_1-1\right)^2-\left(x_1+1\right)^2\right]+\left(x_1+1\right)^2\left[\left(x_2-1\right)^2-\left(x_2+1\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow-4x_1\left(x_2+1\right)^2-4x_2\left(x_1+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2^2+2x_1x_2+x_1+x_1^2x_2+2x_1x_2+x_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow-2\left(m+1\right)+4\cdot\left(-2\right)+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m=-9\)

Vậy : \(m=-9.\)

 Ta nhận thấy tổng các hệ số của pt bậc 2 đã cho là \(1-a+a-1=0\) nên pt này có 1 nghiệm là 1, nghiệm kia là \(a-1\), nhưng do không được giải pt nên ta sẽ làm theo cách sau:

 Ta thấy pt này luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Viète:

 \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1x_2=a-1\end{matrix}\right.\)

 Vậy, \(M=\dfrac{3\left(x_1^2+x_2^2\right)-3}{x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}\)

\(M=\dfrac{3\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-3}{a\left(a-1\right)}\)

\(M=\dfrac{3\left(a^2-2\left(a-1\right)\right)-3}{a\left(a-1\right)}\)

\(M=\dfrac{3\left[\left(a-1\right)^2-1\right]}{a\left(a-1\right)}\)

\(M=\dfrac{3a\left(a+2\right)}{a\left(a-1\right)}\)

\(M=\dfrac{3a+6}{a-1}\)

b) Ta có \(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=a^2-2\left(a-1\right)=\left(a-1\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\). Vậy để P đạt GTNN thì \(a=1\)

\(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2+8m-9=0\left(1\right)\)

Ta giải \(\Delta=[-2\left(m+4\right)]^2-4\left(m^2+8m-9\right)=100>0\forall m\)

suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\forall m\).

Ta có: \(x_1=m-1\), \(x_2=m+1\) (thay \(\Delta\) vào công thức tìm nghiệm phân biệt).

Gọi \(A=\dfrac{x_1^2+x_2^2-48}{x_1^2+x_2^2}\).

\(\Rightarrow A=1-\dfrac{48}{x_1^2+x_2^2}=1-\dfrac{48}{\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2}=1-\dfrac{24}{m^2+1}\).

Để biểu thức A nguyên thì \(\dfrac{24}{m^2+1}\) nguyên, suy ra \(m^2+1\inƯ\left(24\right)\).

\(\Rightarrow m^2+1\in\left\{1;2;4;6;8;12;24\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1\right\}\) (vì m nhận giá trị nguyên)

Vậy \(m\in\left\{0;\pm1\right\}\) là giá trị cần tìm.

Mình chỉnh sửa lại một chút nhé.

\(A=1-\dfrac{24}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow...\)\(\Rightarrow\)\(m^2+2\in\left\{1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

Vậy...

a, x = 3 , x= -1

b, m = 3 , m = 1

pt. 2 mghiemej pb

`<=>Delta>0`

`<=>(m+2)^2-4(3m-6)>0`

`<=>m^2+4m+4-12m+24>0`

`<=>m^2-8m+28>0`

`<=>(m-4)^2+8>0` luôn đúng

Áp dụng vi-ét ta có:`x_1+x_2=m+2,x_1.x_2=-3m-6`

`đk:x_1,x_2>=0=>x_1+x_2,x_1.x_2>=0`

`=>m+2>=0,3m-6>=0`

`<=>m>=2`

`pt<=>x_1+x_2+2sqrt(x_1.x_2)=4`

`<=>m+2+2sqrt{3m-6}=4`

`<=>3m+6+6sqrt(3m-6)=12`

`<=>3m-6+6sqrt(3m-6)=0`

`<=>3m-6=0`

`<=>m=2(tmđk)`

Vậy m=2